쌍둥이 소수와 소수의 간격

$n$번 째 소수 $p_n$이 있을 때, $p_{n+1}=p_n+2$ 라면 $p_n,~p_{n+1}$를 쌍둥이 소수라고 부른다.

소수 사이의 간격을 생각할 때,

$$ \begin{aligned} (n+1)!+2,\\ (n+1)!+3\\ \vdots\\ (n+1)!+(n+1) \end{aligned} $$

를 보면 항상 어떤 구간에선 적어도 $n$개의 합성수가 연속적으로 분포해있음을 알 수 있다.

$\because (n+1)!+2=2(1+3+\cdots+(n+1)+1)$

골드바하의 추측, 골드바하의 약한 추측

골드바하의 추측 (Goldbach conjecture)

$4$ 이상의 짝수는 두 소수의 합으로 이루어진다.

골드바하의 약한 추측 Goldbach weak conjecture

$6$ 이상의 자연수는 세 소수의 합으로 이루어질 수 있다.


약한 추측이라는 이름이 붙은 이유는 골드바하의 추측 $\Rightarrow$ 약한 골드바하의 추측이기 때문이다.

이유는 $2$나 $3$을 끼워넣으면 되기 때문이다.

$4n+3$ 형태의 소수의 무한성

나눗셈 정리에 의해 모든 홀수는 $4n+1,~4n+3$의 꼴로 표현된다.

Lemma 1

$4n+1$의 홀수끼리 곱하면 그 꼴은 $4n+1$이다.

증명

$\because ~~ (4n+1)(4m+1)=16nm+4(n+m)+1=4N+1$

Theorem 3.6

$4n+3$ 형태의 소수는 무한하다.

증명

$4n+3$의 소수가 유한히 존재한다고 하고 이를

$$ q_1,~q_2,~\cdots,~q_n $$

이라 하자.

다음과 같은 정수 $N$ 에 대해서,

$$ N=4q_1q_2q_3\cdots q_n-1=4(q_1q_2\cdots q_n-1)+3 $$

산술의 기본 정리에 의해 $N$은 소인수로 표현된다.

$$ N=r_1r_2\cdots r_s $$

$N$은 홀수이므로 $r_i \ne 2$이고, 모든 $r_i$는 홀수이므로 $4k+1,4k+3$ 꼴이다.

Lemma 1에 의해 $4k+1$끼리의 곱은 $4k+1$ 꼴이므로 어떤 $r_i$는 $4k+3$ 꼴이다.

어떠한 $4k+3$ 의 꼴의 소수도 $N$을 나누지 않기 때문에 모순이다.

$\because4q_1q_2\cdots q_n-1 \equiv -1 \pmod {q_i}$

따라서 $4k+3$의 소수는 무한하다. $\square$

디리클레 등차수열 정리

Theorem 3.7 디리클레 등차수열 정리

$a,b$가 서로소인 양의 정수라면, 다음 수열은 무한히 많은 소수를 포함한다.

$$ a,a+b,a+2b,a+3b, \dots $$

이는 또한 무한개의 합성수를 포함한다.

$a+nb=p$, $p$는 소수라고 할 때,

$n_k=n+kp$라 한다면,

$a+n_kb=a+(n+kp)b=(a+nb)+kpb=p(1+kb)$가 되어 $p$로 나누어 떨어지는 합성수가 된다.

항이 모두 소수인 등차수열에서의 정리

Theorem 3.8

다음 등차 수열의 모든 $n (n>2)$개의 항이 소수일 때,

$$ p,p+d,p+2d, \dots ,p+(n-1)d $$

이 수열의 공차 $d$는 $n$보다 작은 모든 소수 $q$로 나누어 떨어진다.

증명

$q<n$ 이고 $q \nmid d$라고 하자. (귀류)

다음과 같은 $q$개의 항

$$ p,p+d,p+2d,\dots,p+(q-1)d $$

는 법 $q$에 대해 완전잉여계이다.

아니라면 $p+id$와 $p+jd (i \ne j)$는 $q$로 나누었을 때 나머지가 같다.

$p+id \equiv p+jd \pmod {q}$

즉, $p+id-p-jd \pmod {q} ~ \Rightarrow ~ (i-j)d \equiv 0 \pmod {q} ~ \Rightarrow ~ q \mid (i-j)d$

$q \nmid d$ 이고 $q$는 소수여서 $gcd(q,d)=1$ 이다.

유클리드 보조정리에 의해 $q \mid (i-j)$ 인데 $q \le \lvert i-j \rvert$ 이고 $\lvert i-j \rvert=n-1$ 인 $i, j$가 존재하기 때문에 $q \le q-1$ 가 되어 모순이다.

따라서

$$ p,p+d,p+2d,\dots,p+(q-1)d $$

는 $q$에 대해 완전잉여계를 이루므로 어떤 $i$는 $q \mid p+id$이다.

그럼 $p+id$는 소수가 아닌 합성수가 되므로 전제에 모순이다.

따라서 $n$보다 작은 모든 소수 $q$는 $d$를 나눈다. $\square$

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