최대 정수 함수의 달력에의 응용인 가벼운 단원이다. 크게 중요한 내용은 없다.

그레고리력Permalink

일년을 365365일로 책정하고, 100100의 배수가 아니며 44의 배수인 년도나 400400의 배수인 년도는 윤년이라 부르며 366366일로 책정한다.

요일에 다음과 같이 숫자를 붙여보자.

일요일0월요일1화요일2수요일3목요일4금요일5토요일6 \begin{aligned} \text{일요일} \Rightarrow 0\\ \text{월요일} \Rightarrow 1\\ \text{화요일} \Rightarrow 2\\ \text{수요일} \Rightarrow 3\\ \text{목요일} \Rightarrow 4\\ \text{금요일} \Rightarrow 5\\ \text{토요일} \Rightarrow 6\\ \end{aligned}

이제 특정 년월일의 요일을 알아내는 공식을 수식화하는 과정을 진행할 것이다.


요일을 구하는 공식Permalink

3311일을 어떤 해의 시작이라고 하자.

벌써부터 심상치않다.

DnD_nnn년도의 3311일의 요일을 의미한다.

D1600D_{1600}16001600년도 3311일의 요일 번호이다.

365365일이 11년일 때, 3651(mod7)365 \equiv 1 \pmod 7 이므로,

D1601D1600+1(mod7)D1602D1600+2(mod7)D1603D1600+3(mod7) \begin{aligned} D_{1601} \equiv D_{1600}+1 \pmod 7\\ D_{1602} \equiv D_{1600}+2 \pmod 7\\ D_{1603} \equiv D_{1600}+3 \pmod 7 \end{aligned}

이고, 16041604년은 윤년이기때문에 11이 더 더해져서

D1604D1600+5(mod7) D_{1604} \equiv D_{1600} + 5 \pmod 7

이다.

이를 이용해 어떤 해 Y>1600Y > 16003311일의 요일 수 DYD_Y 를 다음과 같이 공식화 할 수 있다.

DYD1600+(Y1600)+L(mod7)    (1) D_Y \equiv D_{1600} + (Y-1600)+L \pmod 7 ~~~~ (1)

LL1600<i<Y1600 < i < Y 일 때, 윤년인 ii의 개수이다.

LL은 포함 배제의 원리로 구할 수 있다.

L=[Y16004][Y1600100]+[Y1600400]=[Y/4][Y/100]+[Y/400]388 \begin{aligned} L&=\left[ \dfrac {Y-1600}4 \right] - \left[ \dfrac {Y-1600}{100} \right]+ \left[ \dfrac {Y-1600}{400} \right]\\ &=[Y/4]-[Y/100]+[Y/400]-388 \end{aligned}

388=[1600/4][1600/100]+[1600/400]\because 388=[1600/4]-[1600/100]+[1600/400]

D1600=3D_{1600}=3(수요일) 이고, (1)(1) 의 식에 LL을 대입하면,

DY3+(Y1600)+[Y4][Y100]+[Y400]388(mod7)   (2) D_Y \equiv 3+(Y-1600)+\left[ \dfrac Y4 \right]-\left[ \dfrac Y{100} \right]+\left[ \dfrac Y{400} \right]-388 \pmod 7 ~~~ (2)

LL의 복잡도를 줄이기 위해, 년도 YY를 다음과 같이 나타내자.

Y=100c+y  (0y<100) Y=100c+y ~~ (0 \le y < 100)

예를 들어, 2021=10020+212021=100 \cdot 20 + 21

나눗셈 정리에 의해 ccyy가 유일히 존재한다.

LL을 다시 나타내보자.

L=[Y4][Y100]+[Y400]388=[100c4+y4][100c100+y100]+[100c400+y400]388=25c+[y4]c+[c4]388=24c+[y4]+[c4]388 \begin{aligned} L&=\left[ \dfrac Y4 \right]-\left[ \dfrac Y{100} \right]+\left[ \dfrac Y{400} \right]-388\\ &=\left[ \dfrac {100c}4+\dfrac y4 \right]-\left[ \dfrac {100c}{100}+\dfrac y{100} \right]+\left[ \dfrac {100c}{400}+\dfrac y{400} \right]-388\\ &=25c + \left[ \dfrac y4 \right]-c+\left[ \dfrac c4 \right]-388\\ &=24c+\left[ \dfrac y4 \right]+\left[ \dfrac c4 \right]-388 \end{aligned}

이제 이를 (1)(1)에 다시 대입해보자.

DY3+(100c+y1600)+24c+[y4]+[c4]388(mod7) D_Y \equiv 3+\left( 100c+y-1600 \right)+24c+\left[ \dfrac y4 \right]+\left[ \dfrac c4 \right]-388 \pmod 7

이를 법 77에 대해 간략히 하면,

DY32c+y[c4]+[y4](mod7)   (3) D_Y \equiv 3-2c+y \left[ \dfrac c4 \right]+\left[ \dfrac y4 \right] \pmod 7 ~~~ (3)

실제로 202120213311일의 요일을 구해보자.

2021=10020+21c=20,y=21D2021340+21+5+51(mod7) \begin{aligned} 2021=100 \cdot 20 + 21 \Longrightarrow c=20,y=21\\ D_{2021} \equiv 3-40+21+5+5 \equiv 1 \pmod 7 \end{aligned}

실제로 202120213d3d월 11일은 월요일(1) 이다.


이제 년도의 시작일인 3311일의 요일수를 구했으므로, 여기서 그치지 않고 각 달의 11일의 요일수를 구해보자.

어떤 해 YY의 매달 첫째 날의 요일수를 얻기 위해, 3311일의 요일수에 더해야 하는 값은 다음과 같다.

각각 30,3130,31일이 있는 달에 대해 법 77을 고려하라.

3131일은 33이, 3030일은 22가 더해진다.

304355617386921041101221521 \begin{aligned} 3\text{월} \to 0\\ 4\text{월} \to 3\\ 5\text{월} \to 5\\ 6\text{월} \to 1\\ 7\text{월} \to 3\\ 8\text{월} \to 6\\ 9\text{월} \to 2\\ 10\text{월} \to 4\\ 11\text{월} \to 0\\ 12\text{월} \to 2\\ 1\text{월} \to 5\\ 2\text{월} \to 1 \end{aligned}

1212 개를 어떻게 외우냐고 생각한다면, 다음과 같이 준비된 공식이 있다.

여기서 중요한건 mm33월을 그 해의 첫째달로 볼 때 몇번째 달인지를 의미한다는 것이다.

m1,2,,12m-1,2,\dots,12 에 대해서, [(2.6)m0.2]2(mod7){\color{salmon} [(2.6)m-0.2]-2 \pmod 7 } 은, 표에 나온 것과 같은 수를 생산한다.

예를 들어, 202120219911일을 택하면,

D2021+[(2.6)70.2]21+1823(mod7) D_{2021}+[(2.6) \cdot 7 - 0.2] -2 \equiv 1 + 18 - 2 \equiv 3 \pmod 7

실제로 2021202199월은 수요일이다.

어떤 달의 dd일은 (d1)(d-1)을 더해주기만 하면 되므로,

결국 Y(100c+y)Y(100c+y)mmdd일의 요일을 구하는 공식은 다음과 같다.

(3)(3)에서,

DY32c+y+[c4](mod7)wDy+[(2.6)m0.2]2+(d1)(mod7)32c+y+[c4]+[y4]+[(2.6)m0.2]2+(d1)(mod7)d+[(2.6)m0.2]2c+y+[c4]+[y4](mod7) \begin{aligned} D_Y &\equiv 3-2c+y+\left[ \dfrac c4 \right] \pmod 7\\ w &\equiv D_y+[(2.6)m-0.2]-2+(d-1) \pmod 7\\ &\equiv 3-2c+y+\left[ \dfrac c4 \right]+\left[ \dfrac y4 \right]+[(2.6)m-0.2]-2+(d-1) \pmod 7\\ &\equiv d+[(2.6)m-0.2]-2c+y+\left[ \dfrac c4 \right]+\left[ \dfrac y4 \right]\pmod 7 \end{aligned}

Theorem 6.12Permalink

33월을 그 해의 첫째 달, 그리고 11월과 22월은 그 전 해의 열한 번째 달, 열두 번째 달이라 가정하면,

Y=100c+yY=100c+ymm번째 달, dd일의 요일 수는 다음과 같다.

w=d+[2.6m0.2]2c+y+[c4]+[y4](mod7), c16,0y<100 \begin{aligned} w=d+[2.6m-0.2]-2c+y+\left[ \dfrac c4 \right]+\left[ \dfrac y4 \right] \pmod 7\\\\ \text{단},~c \ge 16, 0 \le y < 100 \end{aligned}

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