최대 정수 함수의 달력에의 응용인 가벼운 단원이다. 크게 중요한 내용은 없다.
그레고리력
일년을 365일로 책정하고, 100의 배수가 아니며 4의 배수인 년도나 400의 배수인 년도는 윤년이라 부르며 366일로 책정한다.
요일에 다음과 같이 숫자를 붙여보자.
일요일⇒0월요일⇒1화요일⇒2수요일⇒3목요일⇒4금요일⇒5토요일⇒6
이제 특정 년월일의 요일을 알아내는 공식을 수식화하는 과정을 진행할 것이다.
요일을 구하는 공식
3월 1일을 어떤 해의 시작이라고 하자.
벌써부터 심상치않다.
Dn은 n년도의 3월 1일의 요일을 의미한다.
D1600은 1600년도 3월 1일의 요일 번호이다.
365일이 1년일 때, 365≡1(mod7) 이므로,
D1601≡D1600+1(mod7)D1602≡D1600+2(mod7)D1603≡D1600+3(mod7)
이고, 1604년은 윤년이기때문에 1이 더 더해져서
D1604≡D1600+5(mod7)
이다.
이를 이용해 어떤 해 Y>1600의 3월 1일의 요일 수 DY 를 다음과 같이 공식화 할 수 있다.
DY≡D1600+(Y−1600)+L(mod7) (1)
L은 1600<i<Y 일 때, 윤년인 i의 개수이다.
L은 포함 배제의 원리로 구할 수 있다.
L=[4Y−1600]−[100Y−1600]+[400Y−1600]=[Y/4]−[Y/100]+[Y/400]−388
∵388=[1600/4]−[1600/100]+[1600/400]
D1600=3(수요일) 이고, (1) 의 식에 L을 대입하면,
DY≡3+(Y−1600)+[4Y]−[100Y]+[400Y]−388(mod7) (2)
L의 복잡도를 줄이기 위해, 년도 Y를 다음과 같이 나타내자.
Y=100c+y (0≤y<100)
예를 들어, 2021=100⋅20+21
나눗셈 정리에 의해 c와 y가 유일히 존재한다.
L을 다시 나타내보자.
L=[4Y]−[100Y]+[400Y]−388=[4100c+4y]−[100100c+100y]+[400100c+400y]−388=25c+[4y]−c+[4c]−388=24c+[4y]+[4c]−388
이제 이를 (1)에 다시 대입해보자.
DY≡3+(100c+y−1600)+24c+[4y]+[4c]−388(mod7)
이를 법 7에 대해 간략히 하면,
DY≡3−2c+y[4c]+[4y](mod7) (3)
실제로 2021년 3월 1일의 요일을 구해보자.
2021=100⋅20+21⟹c=20,y=21D2021≡3−40+21+5+5≡1(mod7)
실제로 2021년 3d월 1일은 월요일(1) 이다.
이제 년도의 시작일인 3월 1일의 요일수를 구했으므로, 여기서 그치지 않고 각 달의 1일의 요일수를 구해보자.
어떤 해 Y의 매달 첫째 날의 요일수를 얻기 위해, 3월 1일의 요일수에 더해야 하는 값은 다음과 같다.
각각 30,31일이 있는 달에 대해 법 7을 고려하라.
31일은 3이, 30일은 2가 더해진다.
3월→04월→35월→56월→17월→38월→69월→210월→411월→012월→21월→52월→1
12 개를 어떻게 외우냐고 생각한다면, 다음과 같이 준비된 공식이 있다.
여기서 중요한건 m은 3월을 그 해의 첫째달로 볼 때 몇번째 달인지를 의미한다는 것이다.
m−1,2,…,12 에 대해서, [(2.6)m−0.2]−2(mod7) 은, 표에 나온 것과 같은 수를 생산한다.
예를 들어, 2021년 9월 1일을 택하면,
D2021+[(2.6)⋅7−0.2]−2≡1+18−2≡3(mod7)
실제로 2021년 9월은 수요일이다.
어떤 달의 d일은 (d−1)을 더해주기만 하면 되므로,
결국 Y(100c+y)년 m월 d일의 요일을 구하는 공식은 다음과 같다.
식 (3)에서,
DYw≡3−2c+y+[4c](mod7)≡Dy+[(2.6)m−0.2]−2+(d−1)(mod7)≡3−2c+y+[4c]+[4y]+[(2.6)m−0.2]−2+(d−1)(mod7)≡d+[(2.6)m−0.2]−2c+y+[4c]+[4y](mod7)
Theorem 6.12
3월을 그 해의 첫째 달, 그리고 1월과 2월은 그 전 해의 열한 번째 달, 열두 번째 달이라 가정하면,
Y=100c+y년 m번째 달, d일의 요일 수는 다음과 같다.
w=d+[2.6m−0.2]−2c+y+[4c]+[4y](mod7)단, c≥16,0≤y<100
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