뫼비우스 함수Permalink

Definition 6.3Permalink

양의 정수 nn에 대해 μ(n)\mu(n)를 다음과 같이 정의한다.

μ(n)={1if  n=10if  p2n,  p는 소수(1)rotherwise  n=p1p2pr, pi는 서로 다른 소수 \mu(n)= \begin{cases} 1 & \text{if} ~~ n=1 \\ 0 & \text{if} ~~ p^2 \mid n, ~~p \text{는 소수} \\ (-1)^r & \text{otherwise} ~~ n=p_1p_2\cdots p_r, ~p_i \text{는 서로 다른 소수} \end{cases}

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쉽게 풀어말하면, μ(1)=1\mu(1)=1 이고, 제곱인수가 있는 수는 00이고, 그렇지 않으면 소인수의 개수가 홀수이면 1-1, 짝수이면 11 인 함수이다.

μ(1)=1\mu(1)=1 인 것에서 눈치챘겠지만, 승법 함수이다.

pp 가 소수라면

  • μ(p)=1\mu(p)=-1
  • μ(pk)=0  (k2)\mu(p^k)=0 ~~ (k \ge 2)

이다.

이 뫼비우스 함수는 정수론 고인물 문제로 갈수록 가끔씩 튀어나와서 사람들을 괴롭히는데, 이와 관련해서 PS를 위한 정수론 챕터를 만들 때 같이 수록할 예정이다.

Theorem 6.5Permalink

함수 μ\mu는 승법 함수이다.

증명

mmnn이 서로소일 때, mm이나 nn중에 제곱인수가 있는 수가 있다고 해보자.

p2mp^2 \mid m 또는 p2np^2 \mid n 이면 p2mnp^2 \mid mn 이다.

따라서 μ(mn)=0=μ(m)μ(n)\mu(mn)=0=\mu(m)\mu(n). 그러면 공식은 성립한다.

이제 mmnn이 제곱인수가 없다고 하자.

m=p1p2pr,  n=q1q2qs m=p_1p_2 \cdots p_r, ~~ n=q_1q_2 \cdots q_s
μ(mn)=μ(p1prq1qs)=(1)r+s=(1)r(1)s=μ(m)μ(n) \begin{aligned} \mu(mn)& =\mu(p_1\cdots p_rq_1 \cdots q_s)=(-1)^{r+s}\\ &=(-1)^r(-1)^s=\mu(m)\mu(n) \end{aligned}

따라서 μ\mu는 승법 함수다. \square

정수 nn의 모든 약수의 뫼비우스 함수값 합Permalink

정수 nndn\sum_{d \mid n} 들에 대해서 뫼비우스의 값 합인 dnμ(d)\sum_{d \mid n} \mu(d) 가 가지는 놀라운 성질을 알아보자.

n=1n=1

d1μ(d)=μ(1)=1\sum_{d \mid 1} \mu(d)=\mu(1)=1

nn은 소수의 거듭제곱

pp가 소수이고 n=pkn=p^k 이라고 하자.

그럼 nn의 약수는 {1,p,p2,}\{1,p,p^2,\dots\} 이다.

dnd=μ(1)+μ(p)+μ(p2)+=1+(1)+0+0+\sum_{d \mid n}d=\mu(1)+\mu(p)+\mu(p^2)+\cdots=1+(-1)+0+0+\cdots 가 되어서 결국 00 이다.

그 외

이전 단원의 Theorem으로 F(n)=dnμ(d)F(n)=\displaystyle \sum_{d \mid n}\mu(d) 일 때, FF 도 승법함수이므로,

n=p1k1p2k2prkrn=p_1^{k_1}p_2^{k_2} \cdots p_r^{k_r} 이라 한다면, F(n)=F(p1k1)F(p2k2)F(prkr)F(n)=F(p_1^{k_1})F(p_2^{k_2})\cdots F(p_r^{k_r}) 이 되고,

F(piki)=0F(p_i^{k_i})=0 임을 이전에 보였으므로 결국 F(n)=0F(n)=0 이다.

결론적으로, n=1n=1 일 때 빼고는 모두 dnμ(d)=0\displaystyle \sum_{d \mid n}\mu(d)=0 이라는 결론이 나온다.

Theorem 6.6Permalink

양의 정수 n1n \ge 1에 대해,

dnμ(d)={1  if  n=10  if  n1 \displaystyle \sum_{d \mid n}\mu(d)=\begin{cases} 1 ~~\text{if}~~n=1 \\ 0 ~~\text{if}~~n \ne 1 \end{cases}

뫼비우스 반전공식Permalink

Theorem 6.7 뫼비우스 반전공식Permalink

FFff를 다음 공식처럼 구성된 수론 함수라 하자.

F(n)=dnf(d) F(n)=\displaystyle \sum_{d \mid n}f(d)

그러면,

f(n)=dnμ(d)F(nd)=dnμ(nd)F(d) f(n)=\displaystyle \sum_{d \mid n}\mu(d)F \left( \dfrac nd \right)=\sum_{d \mid n}\mu \left( \dfrac nd \right)F(d)

증명

정리의 결론에서, dnμ(d)F(nd)=dnμ(nd)F(d)\displaystyle \sum_{d \mid n}\mu(d)F \left( \dfrac nd \right)=\sum_{d \mid n}\mu \left( \dfrac nd \right)F(d) 이 성립하는 이유는, dd'를, d=ndd'=\dfrac nd 로 바꾸어도 성립하기 때문이다.

요구된 계산을 진행하자.

dnμ(d)F(nd)=dn(μ(d)cn/df(c))=dn(cn/dμ(d)f(c)) \begin{aligned} \displaystyle \sum_{d \mid n}\mu(d)F \left( \dfrac nd \right) &=\sum_{d \mid n}\left( \mu(d) \sum_{c \mid n/d} f(c) \right)\\ =\sum_{d \mid n}\left( \sum_{c \mid n/d} \mu(d)f(c) \right) \end{aligned}

F(n)=dnf(d)F(n)=\sum_{d \mid n}f(d) 를 그대로 쓴 것이다.

여기서 dnd \mid n이고, cn/dc \mid n/d 일 필요충분조건은 cnc \mid n이고, dn/cd \mid n/c 임을 보일 수 있다.

n=dkn = dk라 두면, ckc \mid k 가 되는데, k=cxk=cx 라 하면, cxk,kncncx \mid k, k \mid n \to c \mid n 이고 nc=dx\dfrac nc=dx 여서 dncd \mid \dfrac nc 이다.

역방향으로도 동일하다. ddcc만 바뀐 식이란 것을 관찰할 수 있다. 이것의 예시는 밑에 정리되어있다.

이로써 식을 다시 표현하면

cndn/cμ(d)f(c)=cnf(c)dn/cμ(d) \begin{aligned} \displaystyle \sum_{c \mid n} \sum_{d \mid n/c} \mu(d)f(c)=\sum_{c \mid n}f(c) \sum_{d \mid n/c} \mu(d) \end{aligned}

Theorem 6.6에 따라 dn/cμ(d)\displaystyle \sum_{d \mid n/c} \mu(d)nc=1\dfrac nc=1 일 때를 제외하고는 00이기 때문에,

cnf(c)dn/cμ(d)=c=nf(c)1=f(n) \begin{aligned} \displaystyle \sum_{c \mid n}f(c) \sum_{d \mid n/c}\mu(d)=\sum_{c=n} f(c) \cdot 1=f(n) \end{aligned}

즉, f(n)=dnμ(d)F(nd)  f(n)=\displaystyle \sum_{d \mid n}\mu(d)F \Bigl(\dfrac nd \Bigr) ~~ \blacksquare

dnμ(d)\sum_{d \mid n}\mu(d) 의 성질을 활용하는 방법이 PS에서도 시간복잡도를 줄이는데 많이 쓰인다.

예시

증명 중간에 필요충분조건을 이용해 공식을 변환하는 부분만 예시로 다시 보자.

연산을 이렇게 변환시킬 수 있다는 것을 이해하는 것도 중요하다.

d10c10/dμ(d)f(c)=μ(1)[f(1)+f(2)+f(5)+f(10)]+μ(2)[f(1)+f(5)]+μ(5)[f(1)+f(2)]+μ(10)[f(1)]=f(1)[μ(1)+μ(2)+μ(5)+μ(10)]+f(2)[μ(1)+μ(5)]+f(5)[μ(1)+μ(2)]+f(10)[μ(1)]=c10d10/cμ(d)f(c) \begin{aligned} \displaystyle \sum_{d \mid 10} & \sum_{c \mid 10/d} \mu(d)f(c) \\\\ &=\mu(1)\left[ f(1)+f(2)+f(5)+f(10) \right]\\ &+\mu(2)\left[ f(1)+f(5) \right]\\ &+\mu(5)\left[ f(1)+f(2) \right]\\ &+\mu(10) \left[ f(1) \right]\\\\ &=f(1) \left[ \mu(1)+\mu(2)+ \mu(5)+ \mu(10) \right]\\ &+f(2) \left[ \mu(1)+\mu(5) \right]\\ &+f(5) \left[ \mu(1)+\mu(2) \right]\\ &+f(10) \left[ \mu(1) \right]\\ \\ &=\sum_{c \mid 10}\sum_{d \mid 10/c} \mu(d)f(c) \end{aligned}

승법 함수와 뫼비우스 반전공식Permalink

τ\tau 함수와 σ\sigma 함수를 생각해보자.

τ(n)=dn11=dnμ(d)τ(nd)σ(n)=dndn=dnμ(d)σ(nd) \begin{aligned} &\tau(n)=\displaystyle \sum_{d \mid n}1 \Longleftrightarrow 1=\sum_{d \mid n}\mu(d)\tau \left( \dfrac nd \right)\\ &\sigma(n)=\sum_{d \mid n}d \Longleftrightarrow n= \sum_{d \mid n}\mu(d)\sigma \left( \dfrac nd \right) \end{aligned}

Theorem 6.8Permalink

FF가 승법함수이고, F(n)=dnf(d)F(n)=\displaystyle \sum_{d \mid n}f(d) 이면, ff또한 승법함수이다.

증명

mmnn을 서로소인 양의 정수라 하자.

mnmn의 모든 약수 ddd1m, d2nd_1 \mid m, ~ d_2 \mid n 그리고, gcd(d1,d2)=1gcd(d_1,d_2)=1d=d1d2d=d_1d_2 로 유일히 나타낼 수 있다.

뫼비우스 반전공식을 적용하면,

f(mn)=dmnμ(d)F(mnd)=d1md2nμ(d1d2)F(mnd1d2)=d1mμ(d1)F(md1)d2nμ(d2)F(nd2)=f(m)f(n) \begin{aligned} f(mn)&=\displaystyle \sum_{d \mid mn} \mu(d)F \left( \dfrac {mn}d \right)\\ &=\sum_{d_1 \mid m}\sum_{d_2 \mid n}\mu(d_1d_2)F \left( \dfrac {mn}{d_1d_2} \right)\\ &=\sum_{d_1 \mid m} \mu(d_1) F \left( \dfrac m{d_1} \right) \sum_{d_2 \mid n} \mu(d_2) F \left( \dfrac n{d_2} \right)\\ &=f(m)f(n) \end{aligned}

따라서 ff도 승법적이다. \square

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