뫼비우스 함수
Definition 6.3
양의 정수 n에 대해 μ(n)를 다음과 같이 정의한다.
μ(n)=⎩⎨⎧10(−1)rif n=1if p2∣n, p는 소수otherwise n=p1p2⋯pr, pi는 서로 다른 소수

쉽게 풀어말하면, μ(1)=1 이고, 제곱인수가 있는 수는 0이고, 그렇지 않으면 소인수의 개수가 홀수이면 −1, 짝수이면 1 인 함수이다.
μ(1)=1 인 것에서 눈치챘겠지만, 승법 함수이다.
p 가 소수라면
- μ(p)=−1
- μ(pk)=0 (k≥2)
이다.
이 뫼비우스 함수는 정수론 고인물 문제로 갈수록 가끔씩 튀어나와서 사람들을 괴롭히는데, 이와 관련해서 PS를 위한 정수론 챕터를 만들 때 같이 수록할 예정이다.
Theorem 6.5
함수 μ는 승법 함수이다.
증명
m과 n이 서로소일 때, m이나 n중에 제곱인수가 있는 수가 있다고 해보자.
p2∣m 또는 p2∣n 이면 p2∣mn 이다.
따라서 μ(mn)=0=μ(m)μ(n). 그러면 공식은 성립한다.
이제 m과 n이 제곱인수가 없다고 하자.
m=p1p2⋯pr, n=q1q2⋯qs
μ(mn)=μ(p1⋯prq1⋯qs)=(−1)r+s=(−1)r(−1)s=μ(m)μ(n)
따라서 μ는 승법 함수다. □
정수 n의 모든 약수의 뫼비우스 함수값 합
정수 n의 ∑d∣n 들에 대해서 뫼비우스의 값 합인 ∑d∣nμ(d) 가 가지는 놀라운 성질을 알아보자.
n=1
∑d∣1μ(d)=μ(1)=1
n은 소수의 거듭제곱
p가 소수이고 n=pk 이라고 하자.
그럼 n의 약수는 {1,p,p2,…} 이다.
∑d∣nd=μ(1)+μ(p)+μ(p2)+⋯=1+(−1)+0+0+⋯ 가 되어서 결국 0 이다.
그 외
이전 단원의 Theorem으로 F(n)=d∣n∑μ(d) 일 때, F 도 승법함수이므로,
n=p1k1p2k2⋯prkr 이라 한다면, F(n)=F(p1k1)F(p2k2)⋯F(prkr) 이 되고,
F(piki)=0 임을 이전에 보였으므로 결국 F(n)=0 이다.
결론적으로, n=1 일 때 빼고는 모두 d∣n∑μ(d)=0 이라는 결론이 나온다.
Theorem 6.6
양의 정수 n≥1에 대해,
d∣n∑μ(d)={1 if n=10 if n=1
뫼비우스 반전공식
Theorem 6.7 뫼비우스 반전공식
F와 f를 다음 공식처럼 구성된 수론 함수라 하자.
F(n)=d∣n∑f(d)
그러면,
f(n)=d∣n∑μ(d)F(dn)=d∣n∑μ(dn)F(d)
증명
정리의 결론에서, d∣n∑μ(d)F(dn)=d∣n∑μ(dn)F(d) 이 성립하는 이유는, d′를, d′=dn 로 바꾸어도 성립하기 때문이다.
요구된 계산을 진행하자.
d∣n∑μ(d)F(dn)=d∣n∑c∣n/d∑μ(d)f(c)=d∣n∑μ(d)c∣n/d∑f(c)
F(n)=∑d∣nf(d) 를 그대로 쓴 것이다.
여기서 d∣n이고, c∣n/d 일 필요충분조건은 c∣n이고, d∣n/c 임을 보일 수 있다.
n=dk라 두면, c∣k 가 되는데, k=cx 라 하면, cx∣k,k∣n→c∣n 이고 cn=dx 여서 d∣cn 이다.
역방향으로도 동일하다. d와 c만 바뀐 식이란 것을 관찰할 수 있다. 이것의 예시는 밑에 정리되어있다.
이로써 식을 다시 표현하면
c∣n∑d∣n/c∑μ(d)f(c)=c∣n∑f(c)d∣n/c∑μ(d)
Theorem 6.6에 따라 d∣n/c∑μ(d)는 cn=1 일 때를 제외하고는 0이기 때문에,
c∣n∑f(c)d∣n/c∑μ(d)=c=n∑f(c)⋅1=f(n)
즉, f(n)=d∣n∑μ(d)F(dn) ■
∑d∣nμ(d) 의 성질을 활용하는 방법이 PS에서도 시간복잡도를 줄이는데 많이 쓰인다.
예시
증명 중간에 필요충분조건을 이용해 공식을 변환하는 부분만 예시로 다시 보자.
연산을 이렇게 변환시킬 수 있다는 것을 이해하는 것도 중요하다.
d∣10∑c∣10/d∑μ(d)f(c)=μ(1)[f(1)+f(2)+f(5)+f(10)]+μ(2)[f(1)+f(5)]+μ(5)[f(1)+f(2)]+μ(10)[f(1)]=f(1)[μ(1)+μ(2)+μ(5)+μ(10)]+f(2)[μ(1)+μ(5)]+f(5)[μ(1)+μ(2)]+f(10)[μ(1)]=c∣10∑d∣10/c∑μ(d)f(c)
승법 함수와 뫼비우스 반전공식
τ 함수와 σ 함수를 생각해보자.
τ(n)=d∣n∑1⟺1=d∣n∑μ(d)τ(dn)σ(n)=d∣n∑d⟺n=d∣n∑μ(d)σ(dn)
Theorem 6.8
F가 승법함수이고, F(n)=d∣n∑f(d) 이면, f또한 승법함수이다.
증명
m과 n을 서로소인 양의 정수라 하자.
mn의 모든 약수 d는 d1∣m, d2∣n 그리고, gcd(d1,d2)=1 인 d=d1d2 로 유일히 나타낼 수 있다.
뫼비우스 반전공식을 적용하면,
f(mn)=d∣mn∑μ(d)F(dmn)=d1∣m∑d2∣n∑μ(d1d2)F(d1d2mn)=d1∣m∑μ(d1)F(d1m)d2∣n∑μ(d2)F(d2n)=f(m)f(n)
따라서 f도 승법적이다. □
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