프로베니우스 동전 문제는 가끔가다 수학 문제로 나온다.
정의
자연수 a,b 가 서로소일 때, an+bm(n,m≥0,n,m∈Z 로 만들 수 없는 최대의 자연수는 ab−a−b 이다.
증명 ab−a−b 는 만들 수 없다.
ab−a−b를 만들 수 없는 것을 증명한다.
ab−a−b가 an+bm으로 만들어 질 수 있다고 하자.
ab−a−b=an+bm
ab−a−an=b+bm
a(b−1−n)=b(1+m)
gcd(a,b)=1 ⇒ b ∣ 1+n
마찬가지로 a ∣ 1+m
따라서 a≤1+m & b≤1+n
a−1≤m & b−1≤n
ab−a−b=an+bm≥a(b−1)+b(a−1)=2ab+a−b
따라서 ab−a−b≥2ab+a−b 가 되어 모순이다.
그러므로 ab−a−b를 만들 수 없다. □
증명 ab−a−b 보다 큰 수는 항상 만들 수 있다.
claim.(a−1)(b−1)≤M의 M은 항상 만들어진다.
(a−1)(b−1)=ab−a−b+1 이다.
gcd(a,b)=1 이기 때문에 디오판투스 방정식 ax+by=1 인 x,y가 존재하고 ax1+by1=M 인 x1,y1 이 존재한다.
일반해는 x=x1+tgcd(a,b)b,y=y1−tgcd(a,b)a 이다.
gcd(a,b)b→b, gcd(a,b)a→a 라고 하자. a와 b는 각각 왼쪽 수들에 동일한 수를 곱한 배수이기 때문에 해로 두어도 문제없다.
a(x1+tb)+b(y1−ta)=M≥(a−1)(b−1)
a(x1+tb)≥(a−1)(b−1)−b(y1−ta)
t를 y1−ta≥0 이되는 최대의 정수라고 한다면, y1−ta≤a−1
a(x1+tb)≥(a−1)(b−1)−b(y1−ta)≥(a−1)(b−1)−b(a−1)=1−a
즉, a(x1+tb)≥1−a
x1+tb≥a1−a>−1
x1+tb>−1
따라서 x1+tb 는 음이 아닌 정수이고 이와 유사하게 y1−ta 도 음이 아닌 정수임을 보일 수 있으므로 a(x1+tb)+b(y1−ta)=M 에서 M은 항상 만들 수 있다. □
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