프로베니우스 동전 문제는 가끔가다 수학 문제로 나온다.

정의Permalink

자연수 a,ba,\,b 가 서로소일 때, an+bm(n,m0,n,mZan+bm(n,\,m \ge 0,\,n,\,m \in \Z 로 만들 수 없는 최대의 자연수는 ababab-a-b 이다.

증명 ababab-a-b 는 만들 수 없다.Permalink

ababab-a-b를 만들 수 없는 것을 증명한다.

ababab-a-ban+bman+bm으로 만들어 질 수 있다고 하자.

abab=an+bm\qquad ab-a-b=an+bm

abaan=b+bm\qquad ab-a-an=b+bm

a(b1n)=b(1+m)\qquad a(b-1-n)=b(1+m)

gcd(a,b)=1    b  1+n\qquad gcd(a,b)=1 ~~ \Rightarrow ~~ b~\vert~ 1+n

마찬가지로 a  1+ma~\vert~1+m

따라서 a1+m & b1+na \le 1+m~\&~b \le 1+n

a1m & b1n\qquad a-1 \le m ~\&~ b-1 \le n

abab=an+bma(b1)+b(a1)=2ab+ab\qquad ab-a-b=an+bm \ge a(b-1)+b(a-1)=2ab+a-b

따라서 abab2ab+abab-a-b \ge 2ab+a-b 가 되어 모순이다.

그러므로 ababab-a-b를 만들 수 없다. \square

증명 ababab-a-b 보다 큰 수는 항상 만들 수 있다.Permalink

claim.(a1)(b1)Mclaim. (a-1)(b-1) \le MMM은 항상 만들어진다.

(a1)(b1)=abab+1(a-1)(b-1)=ab-a-b+1 이다.

gcd(a,b)=1gcd(a,b)=1 이기 때문에 디오판투스 방정식 ax+by=1ax+by=1x,yx,y가 존재하고 ax1+by1=Max_1+by_1=Mx1,y1x_1,y_1 이 존재한다.

일반해는 x=x1+tbgcd(a,b),y=y1tagcd(a,b)x=x_1+t\dfrac b{gcd(a,b)},\,y=y_1-t\dfrac a{gcd(a,b)} 이다.

bgcd(a,b)b, agcd(a,b)a\dfrac b{gcd(a,b)}\to b,~\dfrac a{gcd(a,b)}\to a 라고 하자. aabb는 각각 왼쪽 수들에 동일한 수를 곱한 배수이기 때문에 해로 두어도 문제없다.

a(x1+tb)+b(y1ta)=M(a1)(b1)a(x_1+tb)+b(y_1-ta)=M \ge (a-1)(b-1)

a(x1+tb)(a1)(b1)b(y1ta)a(x_1+tb) \ge (a-1)(b-1) - b(y_1-ta)

tty1ta0y_1-ta \ge 0 이되는 최대의 정수라고 한다면, y1taa1y_1-ta \le a-1

a(x1+tb)(a1)(b1)b(y1ta)(a1)(b1)b(a1)=1aa(x_1+tb) \ge (a-1)(b-1) - b(y_1-ta) \ge (a-1)(b-1)-b(a-1)=1-a

즉, a(x1+tb)1aa(x_1+tb) \ge 1-a

x1+tb1aa>1\qquad x_1+tb \ge \dfrac {1-a}a > -1

x1+tb>1\qquad x_1+tb>-1

따라서 x1+tbx_1+tb 는 음이 아닌 정수이고 이와 유사하게 y1tay_1-ta 도 음이 아닌 정수임을 보일 수 있으므로 a(x1+tb)+b(y1ta)=Ma(x_1+tb)+b(y_1-ta)=M 에서 MM은 항상 만들 수 있다. \square

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